Актёр театра и кино. Окончил в 1957 г. училище имени М.С. Щепкина. Играл в Воронежском драматическом театре им. М. Кольцова (1957-1959), в Театре на Таганке (1959-1964), в Театре им. Владимира Маяковского (1964-1967). С 1967 г. - в Малом театре, где проработал до конца жизни.
В кино снимался с 1960 г., сыграл более чем в 40 кинофильмах и фильмах-спектаклях. Одна из самых известных ролей в кино -
комиссар Иван Егорович Данилов в фильме "На всю оставшуюся жизнь" (1975). Другие фильмы и роли:
"Человек без паспорта" (1966) - Лежнев;
"По тонкому льду" (1966) - Андрей Трапезников;
"Десятая доля пути" (1968) - Павел Коротков;
"Дорога на Рюбецаль" (1971) - "Дед";
"Бой после победы" (1972) - полковник Винников;
"Вариант 'Омега'" (1975) - Александр Фёдорович Зверев; и др. За роль Саши Цыганюка в фильме немецкого режиссёра Конрада Вольфа "Мне было девятнадцать" (1967) артист был удостоен Государственной премии ГДР.
Алексей Эйбоженко приходился зятем актёру
Владимиру Кенигсону.
Скончался 26 декабря 1980 года, похоронен в Москве на Ваганьковском кладбище (58 уч.).
